Matematica+-+Esercizi+vacanze+2012

= = =Risoluzione di alcuni esercizi (su richiesta)=

//**Es. n. 39 a**// math \cos x - 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x \neq 1 \quad \Rightarrow \quad x \neq 2 k \pi math

//**Es. n. 39 b**// math \begin{cases} \sqrt{x^2-4} > 0 & \quad \text{C.E. logaritmo} \\ x^2 - 4 \ge 0 & \quad \text{C.E. radice quadrata} \end{cases} math per cui basta risolvere: math x^2 - 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x < - 2 \cup x > 2 math

//**Es. n. 57 a**// math \\ \begin{cases} \ln(x^2-3) \ge 0 & \text{C.E. radice}\\ x^2 -3 >0 & \text {C.E. logaritmo}\\ x > 0 & \text{C.E. logaritmo} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x^2-3 \ge 1 \\ x < -\sqrt{3} \cup x > \sqrt{3} \\ x > 0 \end{cases} \\ \Rightarrow \quad \begin{cases} x \le -2 \cup x \ge 2 \\ x \le -\sqrt{3} \cup x \ge \sqrt{3} \\ x > 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x \ge 2 math

//**Es. n. 57 b**// math \\ \begin{cases} \ln ^2x +3 \ln x +2 \neq 0 \\ x > 0 \end{cases} \begin{cases} \ln x \neq -1 \cup \ln x \neq -2 \\ x > 0 \end{cases} \\ \Rightarrow \quad \begin{cases} x \neq \frac{1}{e} \cup x \neq \frac{1}{e^2} \\ x>0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x \neq \frac{1}{e} \cup x \neq \frac{1}{e^2}

math

//**Es. n. 58 a**// math \\ \cos^2 x - \cos x \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x ( \cos x -1) \neq 0 \\ \Rightarrow \cos x \neq 0 \cap \cos x \neq 1 \quad \Rightarrow \quad x \neq 2k \pi \cap x \neq \frac{\pi}{2} + k \pi math

//**Es. n. 58 b**// math \\ \begin{cases} \ln (2 \sin x) \ge 0 \\ 2 \sin x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2 \sin x \ge 1 \\ \sin x > 0 \end{cases} \Rigtharrow \begin{cases} \sin x \ge \frac{1}{2} \\ \sin x > 0 \end{cases} \Rightarrow \sin x \ge \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{\pi}{6} + 2 k \pi \le x \le \frac{5}{6} \pi + 2 k \pi

math

//**Es. n. 87 a**// math \begin{cases} \sqrt{x^2-5x+6} \neq 0 & \text{C.E. frazione} \\ \sqrt{x-1} \neq 0 & \text{C.E. frazione} \\ x^2 - 5 x + 6 \ge 0 & \text{C.E. radice} \\ x - 1 \ge 0 & \text{C.E. radice} \\ \end{cases} math

da cui: math \begin{cases} x^2-5x+6 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x < 2 \cup x > 3 \\ x >1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad 1 < x < 2 \cup x > 3 math

math y = ( \tan x ) ^ x \\
 * //Es. n. 80 a//**

\begin{cases} \tan x > 0 & \text{C.E. esponenziale (base positiva)} \\ x \neq \frac{\pi}{ 2} + k \pi & \text{C.E. tangente} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad k \pi < x < \frac{\pi}{2} + k \pi math

math y = ( \sin x ) ^ \frac{1}{x} \\
 * //Es. n. 80 b//**

\begin{cases} \sin x > 0 & \text{C.E. esponenziale} \\ x \neq 0 & \text{C.E. frazione} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad 2 k \pi < x < \pi + 2 k \pi math

math \begin{cases} x \neq 0 \\ x \le 1 \end{cases} \cup \begin{cases} \forall x \in R \\ x > 1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x \neq 0 math
 * //Es. n. 91 a//**

math \\ \begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ x \le 0 \end{cases} \cup \begin{cases} x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + k \pi \\ \quad x > 0 \end{cases} \\ \Rightarrow -1 \le x \le 0 \quad \cup \quad x >0 \quad \cap \quad x \neq \frac{3}{4} \pi + k \pi math
 * //Es. n. 91 b//**

math \\ \begin{cases} \log_2 (4-x^2) > 0 \\ 4-x^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4 - x^2 >1 \\ -2 < x < 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} \\ -2 < x < 2 \end{cases} \\ \Rightarrow -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} math
 * //Es. n. 92 a//**

math \begin{cases} \sin x \neq 0 \\ \cos (x-\frac{\pi}{4}) \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \neq k \pi \\ x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + k \pi \end{cases} \Rightarrow x \neq k \pi \cap x \neq \frac{3}{4} \pi + k \pi
 * //Es. n. 92 b//**

math

math \\ \begin{cases} \sin x \ge 0 & \text{C.E. radice} \\ 1 - \tan x \ge 0 & \text{C.E. radice} \\ \sqrt{\sin x} + \sqrt{1-\tan x} \neq 0 & \text{C.E. frazione} \\ x \neq \frac{\pi}{ 2} + k \pi & \text{C.E. tangente} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 2 k \pi \le x \le \pi + 2 k \pi \\ 2 k \pi \le x \le \frac{\pi}{4} + 2 k \pi \cup \frac{\pi}{2} + 2k \pi < x \le \pi + 2k \pi \\ \forall x \in R \quad \mbox{(somma di radici, sempre positive, che non si annullano contemporaneamente)}\\ x \neq \frac{\pi}{ 2} + k \pi \end{cases} \\ \\ \Rightarrow 2 k \pi \le x \le \frac{\pi}{4} + 2 k \pi \cup \frac{\pi}{2} + 2k \pi < x \le \pi + 2k \pi math
 * //Es. n. 104 a//**

math \\ \cos^2 x - \sin^2 x - 2 \sin x \cos x \neq 0 \quad \text{C.E. frazione} \\
 * //Es. n. 104 b//**

\tan^2 x + 2 \tan x - 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \tan x \neq -1 \pm \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad x \neq \frac{\pi}{8} + k \frac{\pi}{2} math

math \\ \begin{cases} x + 3 - \sqrt{x^2-2x-3} \ge 0 & \text{C.E. radice} \\ x ^ 2 -2x -3 \ge 0 & \text{C.E. radice} \end{cases} \\ \\ \\ \text{Risolvo }\sqrt{x^2 - 2x -3} \le x +3 \text{ studiando i due casi:} \\ \\ \begin{cases} x +3 \ge 0 \\ x^2-2x-3 \ge 0 \\ x^2-2x-3 \le (x+3)^2 \\ \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} x +3 \le 0 \\ x^2-2x-3 \ge 0 \\ \text{impossibile} \end{cases} \\ \\ \text{Basta risolvere il primo sistema:} \\ \begin{cases} x \ge -3 \\ x \le -1 \cup x \ge 3 \\ x \ge - \frac{3}{2} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad - \frac{3}{2} \le x \le -1 \cup x \ge 3 math
 * //Es. n. 108 a//**

math \\ \begin{cases} 1 - \sqrt{ | x+2x^2 | } \ge 0 \\ \left | x+2x^2 \right | \ge 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \sqrt{ | x+2x^2 | } \le 1 \\ \forall x \in R \end{cases} \\ \\ \text{Risolvo } \sqrt{ |x+2x^2 |} \le 1 \text{ elevando al quadrato}: \\ \\ x+2x^2 \le -1 \cup x+2x^2 \ge 1 \\ \mbox{ } \qquad 2x^2+x+1 \le 0 \quad \text{impossibile} \\ \mbox{ } \qquad 2x^2+x-1 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x \le -1 \cup x \ge \frac{1}{2} \\ \\ \Rightarrow x \le -1 \cup x \ge \frac{1}{2} math
 * //Es. n. 108 b//**
 * x+2x^2| \le 1

math \begin{cases} \ln \left (2 \sin^2 x - \sin 2x \right ) \neq 0 & \text{C.E. frazione}\\ 2 \sin^2 x -\sin 2x > 0 & \text{C.E. logaritmo} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 2 \sin^2 x - \sin 2x \neq 1 \\ 2 \sin^2 x -2 \sin x \cos x > 0 \end{cases} \\ \\ \text{Risolvo } 2 \sin^2 x - \sin 2x \neq 1 \text{ :}\\ \mbox{ } \qquad 1-2 \sin^2 x + \sin 2x \neq 0 \\ \mbox{ } \qquad \cos 2x + \sin 2x \neq 0 \\ \mbox{ } \qquad \cos 2x \neq - \sin 2x \Rightarrow 2x \neq \frac{3}{4} \pi + k \pi \\ \mbox{ } \qquad x \neq \frac{3}{8} + k \frac{\pi}{2} \\ \text{Risolvo } 2 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x > 0 \text{:}\\ \mbox{ } \qquad \tan^2 x - \tan x > 0 \cup \cos^2 x = 0 \\ \mbox{ } \qquad \Rightarrow \frac{\pi}{4} + k \pi < x < \pi + k \pi \\ \\ \Rightarrow \frac{\pi}{4} + k \pi < x < \pi + k \pi, x \neq \frac{3}{8} + k \frac{\pi}{2}
 * //Es. n. 111//**

math